Diskutiert werden jüngste Ergebnisse aus den BereichenOptimale Kontrolle: über den zu untersuchenden Zeithorizont wird ein Optimierungsproblem formuliert. Die Kosten zur Erreichung des Kontrollziels im Zustandsraum und die Kosten der Kontrolle werden mittels eines problemabhängigen Funktionals mathematisch bewertet. Dieses Funktional wird mit den Navier-Stokes Gleichungen als Nebenbedingungen minimiert. Auf diese weise werden Steuerungen erhalten, welche dem System auf dem vorher festgelegten Zeithorizont aufgeprägt werden können. Präsentiert werden analytische und numerische Resultate.Moving Horizon control: Die Navier-Stokes Gleichungen werden in der Zeit diskretisiert. Zu ausgewählten Zeitpunkten werden die Kosten zur Erreichung des Kontrollziels im Zustandsraum und die Kosten der Kontrolle zu diesem Zeitpunkt mittels eines problemabhängigen Funktionals mathematisch bewertet. Dieses Funktional wird nun unter einer stationären Nebenbedingung, welche von der gewählten Diskretisierung der Navier-Stokes Gleichungen abhängt, näherungsweise minimiert. Mit der so gewonnenen instantanen Kontrolle wird das System bis zum nächsten Kontrollzeitpunkt geregelt. Präsentiert werden sowohl analytische als auch numerischen Resultate.Systemreduktion und Kontrolle: Die Zustandsgleichungen werden mittels eines Galerkinansatzes diskretisiert. Die Navier-Stokes Gleichungen als Zustandsgleichungen werden in den zuvor genannten Zugängen durch die reduzierten Zustandsgleichungen ersetzt und Kontrollen bzw. Regler wie oben beschrieben numerisch berechnet. Grundlegend für den Erfolg dieses Zugangs ist die Wahl der Basis für den Galerkinansatz. In zahlreichen Testbeispielen wurden mit der Snapshot-Proper Orthogonal Decomposition und der Reduced Basis Method sehr gute Ergebnisse erzielt. Diskutiert wird die Anwendbarkeit dieses Zuganges für die Kontrolle von Strömungen, numerische Beispiele werden präsentiert.
Es werden parallele Raumzerlegungsmethoden für die numerische Lösung von Minimierungsproblemen behandelt. Speziell wird für eine kürzlich von Frommer, Renaut (1998) vorgestellte, allgemeine Verfahrensklasse die Forderung nach Abstieg in jedem Schritt ersetzt durch eine "nichtmonotone Strategie" bei der Schrittweitenwahl. Dazu wird eine bekannte Technik nichtmonotoner Abstiegsverfahren von Grippo et al., die bei gewissen Anwendungen den herkömmlichen Abstiegsverfahren überlegen ist, auf die Klasse der Raumzerlegungs- methoden übertragen. Für Konvergenzuntersuchungen wird ein auf Schwetlick zurückgehendes Konzept "minimierender Folgen" auf den nichtmonotonen Fall erweitert. In den allgemeinen Konvergenzaussagen sind als Sonderfälle auch bekannte Resultate enthalten.Koautor: Wolfgang Mönch
Wir betrachten eine Klasse ein-- bzw. zweidimensionaler elliptischer Randwertprobleme über einem beschränkten Gebiet, deren Lösung exponentielle Randgrenzschichten aufweist. Isotrope numerische Standardverfahren sind für derartige Probleme i.a. instabil, während stabile Verfahren häufig nur von erster Ordnung konvergieren. Um Verfahren höherer Ordnung zu konstruieren, kann man eine Defektkorrekturtechnik anwenden, die ein stabiles Verfahren niedriger Ordnung und ein (instabiles) Verfahren höherer Ordnung so kombiniert, daß nur gut konditionierte diskrete Systeme gelöst werden, während die Konvergenzordnung des instabilen Verfahrens erzielt wird. Numerische Experimente lassen vermuten, daß für die Kombination von Upwind-- und zentralem Differenzenverfahren auf grenzschichtangepaßten Gittern Konvergenz von (fast) zweiter Ordnung vorliegt. Wir werden Wege zum theoretischen Nachweis entsprechender Konvergenzresultate vorstellen.
Standardprobleme der Numerik, etwa die Integration, sind ``intractable'' für viele Funktionenräume und deterministische Algorithmen, es gibt keine polynomialen Algorithmen.Es gibt polynomiale Algorithmen für gewisse Funktionenräume, insbesondere für gewichtete.Es gibt polynomiale Algorithmen für Standard-Funktionenräume, falls man auch Monte-Carlo-Algorithmen und/oder Quantenalgorithmen erlaubt.
Die Leibnizsche Regel erlaubt die Vertauschung von Differenziation und Integration. Die dabei üblicherweise gemachten Voraussetzungen an die betrachtete Funktion sind insbesondere hinsichtlich Differenzierbarkeit in der Praxis manchmal nicht erfüllt. Wir besprechen deshalb eine Erweiterung der Regel, die auch bei abgeschwächten Voraussetzungen anwendbar ist und zeigen den Nutzen anhand von Anwendungen aus der Praxis.
A method with optimal (up to logarithmic terms) complexity for solving elliptic problems is proposed. The method relies on interior regularity but the solution may have globally weak regularity due to rough boundary data or geometries. Elliptic regularity results, high order approximation results, and an efficient preconditioner are presented.
Vorgestellt wird die Konvergenzanalysis einer bekannten cell-centered Finite Volumen Methode, die auf Voronoi-Boxen basiert.Dazu wird der FVM eine nichtkonforme Petrov-Galerkin FEM zugeordnet und deren Konvergenz untersucht.Für Konvektions-Diffusions Probleme müssen dazu bekannte Ergebnisse für FEM\'s wie z.B. die Aussage $\forall \hat{r} \in H^2 (\Delta)$ gilt: $|\hat{r} | _{2,\Delta} =0 \longleftrightarrow \hat{r} \in P_1 (\Delta),$ die für beliebige Finite Elemente oder Finite Volumen Δ gilt, verallgemeinert werden.
Untersucht wird die Erweiterung des Gragg-Bulirsch-Stoer-Algorithmus auf Differentialgleichungen in Lie-Gruppen. Die rechte Seite solcher Differentialgleichungen ist als Abbildung von der Lie-Gruppe in die Lie-Algebra gegeben. Für eine geeignete Modifikation der expliziten Mittelpunktregel läßt sich hier wie im Spezialfall gewöhnlicher Differentialgleichungen eine quadratische Entwicklung des globalen Fehlers zeigen. Die Extrapolation auf die Schrittweite h=0 macht die Anwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel notwendig. Die dabei entstehende Reihe wird mit optimaler Anzahl von Kommutatoren approximiert.
Es behandelt sich um die Erstellung eines Programmsystems für die Molekulardynamik-Simulation (MDS) auf der Grundlage der Newtonschen Gasdynamik.Zuerst wird die physikalische Umgebung des Problems beschrieben: Wir stellen das Gleichungssystem der Molekulardynamik (MD-System) aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf und beschreiben die daraus resultierenden unterschiedlichen Darstellungsformen des MD-Systems zur Untersuchung seiner statischen und dynamischen Eigenschaften.Um das MD-System zu lösen, werden angepasste Verfahren gewählt und unterschiedliche Modifikationen betrachtet. Das sind die Prädiktor-Korrektor-Verfahren PE(CE) und P(EC), das modifizierte Prädiktor-Korrektor-Verfahren, das Störmer-Verfahren, die Gear-Darstellung für das MD-System erster und zweiter Ordnung sowie sehr effektive und in neuerer Zeit häufig benutzte symplektische Verfahren. Damit ergibt sich die Möglichkeit, unterschiedliche physikalische Makrogrößen im MD-System zu beobachten und die numerischen Verfahren zu vergleichen.Die Schwierigkeit der MD-Simulation besteht vor allem in der umfangreichen Rechenzeit für die Lösung des Vielteilchensystems. Deshalb wird das entwickelte Programmsystem in mehrere Prozesse zerlegt, damit Rechner mit mehr als einem Prozessor effektiv benutzt werden können. Die Entwicklung und Implementierung des fertigen Programmpakets wird durch Klassenhierarchien vom Allgemeinen zum Speziellen in der Programmiersprache C++ unter dem Betriebsystem UNIX beschrieben.
Im Rahmen einer Zusammenarbeit mit Prof. Wussling (Physiologie, Halle) werden am Institut für Numerische Mathematik in Halle Reaktions-Diffusionsgleichungen zur Beschreibung von Kalziummustern in Herzzellen untersucht. Unter geeigneten Voraussetzungen treten in diesen Modellen wandernde Wellen auf. Uns interessiert die Geschwindigkeit dieser Wellen, weil sie mittels Konfokalmikroskopie auch experimentell gemessen werden kann. Eine wesentliche Schwierigkeit bereitet die periodischen Anordnung von Kanälen und Rezeptoren in der Zelle: im Modell treten ortsabhängige Reaktionsterme auf. Wir diskutieren für ein einfaches, räumlich eindimensionales Grundmodell die angepaßte numerische Behandlung.
Am 11.10.2000 wurde in Chemnitz ein neuer Parallelrechner in Betrieb genommen, der den nicht mehr funktionstüchtigen Parsytec-Rechner ablöst und als wesentliches Arbeitsmittel für den Chemnitzer SFB 393 anzusehen ist. Leistungsmerkmale dieses Beowulf-Clusters, erste Erfahrungen der Nutzer damit und der schwierige Weg in die Top-500-Liste sind Inhalt des Vortrags.
